[ANDRY]자연상수 e의 계산

1. 오일러

레온하르트 오일러(1707 ~ 1783)

오일러, 그는 지금까지 존재했던 수학자 중 가장 위대한 수학자로 손꼽히는 인물 중 한 사람으로, 현재 사용 중인 대부분의 수학적 기호들(e, π 등)을 만든 수학자이다. 그가 이루어낸 업적으로는 지수와 로그를 확립시켰으며, 오일러공식(e^ix=cosx+isinx), 오일러등식(e^iπ+1=0), 한붓그리기 등등 위대한 발견이 굉장히 많다.

또한 '오일러의 수'라고 불리는 자연상수 e는 미분에서 절대 빠져선 안 되는 중요한 숫자이기도 하다. 이 수를 대부분 자연상수라고들 부르는데, 실제로 '자연상수'라는 말이 공식적인 말이 아니다. 따라서 이 수는 '자연로그의 밑' 혹은 '오일러의 수'라고 부르는 것이 올바르다.

2. 오일러의 수

우선 오일러의 수가 어떤 수인지 이해해 보자.
우리는 그 수를 함수를 이용하여 찾을 것이다. 그러기 위해선 우선 '미분계수'라는 것을 알아야 하는데, 그 식은 다음과 같다.

이 식이 무슨 뜻인지 이해해보자.

우선 어떤 함수 f(x)가 있다고 가정하자. 그리고 이 함수에서 x좌표가 x인 점을 (x,f(x))라고 하자. 그리고 이점에서 x좌표가 Δx라는 0에 수렴하는 아주 작은 수만큼 차이나는 점을 (x+Δx,f(x+Δx))라고 하자. 이 두 점을 잇는 직선의 기울기는 얼마인가? x증가량분의 y증가량이므로 그 값은 (f(x+Δx)-f(x))/Δx가 된다. 여기서 Δx의 값이 무한히 작다는 것을 식의 앞에 lim(Δx⟶0)을 붙여 표현한다. 그런데 Δx는 0에 수렴하는 수이기 때문에, (x,f(x))와 (x+Δx,f(x+Δx))는 하나의 같은 점으로 수렴하게 된다. 이점에서의 함수 f(x)에 대한 접선의 기울기가 바로 미분계수인 것이다.

우리는 어떠한 함수를 구할 것인데, 그 함수는 (0,1)을 지나고, f'(x)의 값, 즉 미분 값이 f(x), 즉 함숫값과 같은 함수이다.

우선 앞의 미분계수식을 변형해주자. f'(x)=f(x)이니 f(x)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx로 바꿀 수 있다.
양변에 Δx를 곱해주자.
f(x)Δx=f(x+Δx)-f(x)
f(x)Δx+f(x)=f(x+Δx)
f(x)(1+Δx)=f(x+Δx)
우리는 이러한 형태의 '미분방정식'을 얻게 된다.
이것을 풀어주려면 x에 0, Δx, 2Δx... 하며 대입을 해줘야 한다.

x=0일때
f(0)(1+Δx)=f(Δx)
f(0)=1 이므로
∴f(Δx)=1+Δx

x=Δx일때
f(Δx)(1+Δx)=f(2Δx)
f(Δx)=1+Δx이므로
∴(1+Δx)(1+Δx)=(1+Δx)²=f(2Δx)

x=2Δx일때
f(2Δx)(1+Δx)=(1+Δx)²(1+Δx)=(1+Δx)³=f(3Δx)

.
.
.

이 수열의 형태는
x=nΔx
f(x)=lim(n⟶∞)(1+Δx)ⁿ
Δx=x/n이므로
f(x)=lim(n⟶∞)(1+x/n)ⁿ
이것이 우리가 찾던 함수이고, 이 함수에서 f(1)의 값은 lim(n⟶∞)(1+1/n)ⁿ이고 이것은 1에서 0에 수렴하는 아주 작은 수만큼 떨어진 수를 무한 번 제곱한 값이며, 그 값은 2.7182..정도이다. 그렇다. 이 값이 바로 e이다.

to be continue