[ANDRY](짧은 글)y=x^a꼴의 다차함수에서 x가 자연수일때 함숫값의 증가량의 변화

차례로
x값: 함숫값 | 다음 함숫값과의 차 | 다음 함숫값과싀 차와, 다음 함숫값과 그다음 함숫값과의 차의 차 | ...

1. y=x (1, 2, 3, 4)
x=n: n | 1
x=n+1: n+1 | 1
x=n+2: n+2 | 1
x=n+3: n+3 | 1
x=n+4: n+4 | 1

2. y=x² (1, 4, 9, 16)
x=n: n² | 2n+1 | 2
x=n+1: n²+2n+1 | 2n+3 | 2
x=n+2: n²+4n+4 | 2n+5 | 2
x=n+3: n²+6n+9 | 2n+7 | 2
x=n+4: n²+8n+16 | 2n+9 | 2

3. y=x³ (1, 8, 27, 64)
x=n: n³ | 3n²+3n+1 | 6n+6 | 6
x=n+1: n³+3n²+3n+1 | 3n²+9n+7 | 6n+12 | 6
x=n+2: n³+6n²+12n+8 | 3n²+15n+19 | 6n+18 | 6
x=n+3: n³+9n²+27n+27 | 3n²+21n+37 | 6n+24 | 6
x=n+4: n³+12n²+48n+64 | 3n²+27n+61 | 6n+30 | 6

4. y=x⁴ (1, 16, 81, 256)
x=n: n⁴ | 4n³+6n²+4n+1 | 12n²+24n+14 | 24n+36 | 24
x=n+1: n⁴+4n³+6n²+4n+1 | 4n³+18n²+28n+15 | 12n²+48n+50 | 24n+60 | 24
x=n+2: n⁴+8n³+24n²+32n+16 | 4n³+30n²+76n+65 | 12n²+72n+110 | 24n+84 | 24
x=n+3: n⁴+12n³+54n²+108n+81 | 4n³+42n²+148n+175 | 12n²+96n+194 | 24n+84 | 24
x=n+4: n⁴+16n³+96n²+256n+256 | 4n³+54n²+244n+369 | 12n²+120n+302 | 24n+108 | 24

위와 같이
연속한 두 자연수의 거듭제곱의 꼴을 변끼리 빼 차수를 낫추고 그 차를 구하고, 다시 그렇게 나온 값들의 차를 구하는 과정을 반복할때 다음과 같은 성질이 나타난다:
y=x^a에서 위와 같이 차를 구한 횟수를 t번이라 할때,

• 0=<t=<a일때, 최고차항의 차수는 a-t차, 최고차항의 계수(혹은 상수항)는 aPt이다.
• t=a가 됐을때, 모든 값들은 같은값의 상수가 되며, 그 값은 a!이다.(첫번째 성질에 의함)

또한 a=2, 즉 y=x²일때
n²과 (n-1)²은
n²과 n²+2n+1이므로
둘의 차는 2n+1이다. 따라서 제곱수를 차례로 나열하고 연속된 제곱수의 차를 다시 구해 차례로 나열했을때, 그 수열은 등차수열이자, 홀수의 수열이다.
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

실제로도 성립함을 알수있다.