[ANDRY]피타고라스 정리

피타고라스(B.C 570~B.C 495)

피타고라스
그는 고대 그리스의 위대한 수학자들 중 한 명으로써,
"직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다."라는 피타고라스 정리로 유명하기도 하다.

피타고라스는 피타고라스 학파라고 하는 단체의 교주로,
지금으로선 사이비 종교의 교주라고 이해하면 편할 것이다.

1. 피타고라스 학파

이러한 피타고라스 학파는 모든 자연 형상들을 자연수(지금의 자연수가 아닌 유리수를 뜻한다)로 표현할 수 있다고 여겼으며
특이하게도 피타고라스가 아닌 피타고라스 학파의 다른 수학자(이 시기의 수학자는 대개 피타고라스 학파에 속한 학생들을 뜻했다.)가 발견한 것이라도 피타고라스의 이름으로 발표하였다.
또한 무리수를 최초로 발견한 피타고라스 학파는 그들의 신념에 맞지 않았던 무리수의 존재를 부정하였고, 그것을 외부에 발설하는 것을 금지시켰다. 그러나 히파수스가 무리수의 존재를 발설하여 무리수가 세상에 알려지게 되었고, 히파수스는 학파의 규칙을 어겼다는 명목으로 일원들에 의해 물에 빠져 사망했다고 한다.

2. 피타고라스의 정리

피타고라스 정리라고 한다면 당연히 피타고라스가 증명했다고 생각하겠지만 실제로는 증명한 것인지, 발견한 것인지, 증명했다면 어떻게 증명했는지 자세히 알려져 있지는 않다. 또한 피타고라스 학파에서 발견한 업적을 피타고라스의 이름으로 기록해야 했던 규칙이 있었다는 사실을 감안해보면 어쩌면 피타고라스가 아닌 피타고라스 학파의 수학자가 발견했을지도 모른다. 여담으로 고대 중국의 수학책인 『구장산술』에는 피타고라스 정리와 같은 정리가 구고술이라는 이름으로 소개되어있다.
피타고라스의 정리란 어떤 직각삼각형 ABC의 빗변의 길이가 c이고 직각을 낀 나머지 두 변의 길이가 a, b 라면
a²+b²=c²
이 성립한다는 것이다. 이 정리는 유클리드 기하학(일반적으로 중등 1~고등학교 저학년 과정에서 배우는 기하학이라고 생각하면 된다.)에서 일반적으로 성립하는 절대적인 정리이다.
피타고라스 정리는 기하 문제를 풀 때 매우 자주 써먹는 공식인데, 문제를 풀이할 때 말고도 삼각비의 기본적인 원리 또한 피타고라스 정리를 이용한 것이며, 좌표 평면 위에서 두 점 사이의 거리를 구할 때에도 피타고라스 정리가 사용되고, 심지어 원의 방정식을 나타낼 때도 피타고라스 정리는 절대로 빠져서는 안 되는 바탕이 되는 정리이다. 그만큼 피타고라스 정리를 이용하여 수많은 문제를 풀고 증명할 수 있다는 것이다.

3. 피타고라스의 정리의 증명

피타고라스 정리는 그 증명 방법이 약 400여 가지가 넘으며, 가장 다양하게 증명된 정리이기도 하다.
대표적으로 유클리드의 증명, 닮음을 이용한 증명, 대수적 증명 등이 있고, 최근은 대개 유클리드 증명법이나 닮음을 이용한 증명을 하는 게 일반적이지만, 필자는 대수적인 계산을 좋아하기 때문에 이번 글에서는 대수적 증명법으로 피타고라스 정리를 증명해보겠다.

먼저 빗변의 길이가 c, 나머지 두 변의 길이가 각각 a, b인 직각삼각형 4개를 다음과 같이 그려보자.

pf.

검은색의 큰 정사각형은 한 변의 길이가 a+b인 정사각형이 된다. 이 사각형의 넓이는 얼마인가? 우선 정사각형의 넓이를 구하는 공식을 이용해 (a+b) ²으로 나타낼 수 있다. 이것은 곧 (a+b)(a+b)이며, 이것을 곱셈의 분배 법칙을 이용해 분리해주면 a(a+b)+b(a+b)이다. 이것을 다시 분배 법칙을 이용해 전개해주면, 큰 정사각형의 넓이는 a²+2ab+b²이다. 이것은 중학교 3학년 1학기 때 배우는 곱셈 공식이다. 그런데 이 큰 정사각형의 넓이는 합동인 직각삼각형 4개의 넓이와 가운데의 작은 정사각형의 넓이의 합으로도 나타낼 수 있다. 위의 식에 나온 삼각형들은 모두 합동이므로 a×b÷2=ab/2이고, 파란색의 선분으로 이루어진 작은 사각형은 정사각형이므로 넓이는 c²이다. 여기서 의문이 들 수 있다. "파란색의 작은 사각형이 왜 정사각형인가?" 이 그림에서 각을 표시해보자.

위 그림에서 각 o와 x의 크기의 합은 180°-90°=90°이다. 파란색의 작은 사각형의 한 각의 크기는 평각에서 각 o와 x의 크기를 빼준 값이므로 똑같이 180°-90°=90°이다. 나머지 세 각의 크기도 똑같이 90도가 되고, 네 변의 길이가 같고 한 각의 크기가 90도이므로 파란색의 작은 사각형은 정사각형이다. 다시 앞의 얘기로 돌아가서, 이 큰 정사각형의 넓이는 a²+2ab+b² 또는 4 ×(ab/2)+c²=c²+2ab로도 나타낼 수 있다. 그런데 정사각형의 넓이는 항상 같으므로 a²+2ab+b²=c²+2ab로 나타낼 수 있다. 2ab를 이항 시키면 사라지게 되고, 식은 a²+b²=c² 만이 남게 된다.

Q.E.D

본 게시글에는 틀린 문장 혹은 수식이 있을 수 있으며, 필자는 지적하는 댓글들을 환영하겠다. 아무튼 필자는 이번 게시글을 통해 피타고라스 정리에 대해 자세하게 설명해 보았다. 이외에도 여러 증명법이 있기 때문에, 다른 증명법들은 추후에 업로드해보도록 하겠다. 또한 이 블로그에는 피타고라스 정리 말고도 여러 가지 수학 및 과학에 대한 게시물이 올라갈 예정이다. 부족했던 이 블로그의 첫 게시물을 끝까지 읽어주신 독자 여러분들께 감사를 표한다.