"진짜" 확률 계산하는 방법

확률에 관한 오해?

흔히 "사건 A가 일어날 확률"이라고 하면, "모든 경우의 수"에 대한 "사건 A가 일어나는 경우의 수"의 비율을 나타낸다. 예컨대, 1부터 6까지 번호가 적힌 이상적인 주사위를 굴려 숫자 5가 나올 확률은 6분의 1이다. 또한, 5지선다 문제를 무작위로 찍어서 맞출 확률은 5분의 1이다.
그렇다면, 이번에는 0.1% 확률로 당첨되는 뽑기 기계를 돌려보자. 이는 1000분의1 확률이기 때문에, 흔히 사람들은 "1000번이나 돌려야 겨우 하나 나온다고?"라는 착각을 가지고 있다. 그러나, 이는 틀린 생각이다.
0.1%의 확률이라는 것은, 그 뽑기를 "한 번" 시행했을 때 당첨될 확률을 말하는 것이다. 그 다음의 두번째 시행에서도 확률은 변치 않는다. 즉, 당첨 확률이 약 800만분의 1인 로또를 약 800만 개 구입하여 모두 긁어 본다고 해서 반드시 당첨되는 것이 아니다. 0.1% 확률의 뽑기 또한 다르지 않다.

그럼 0.1% 확률의 뽑기에서 "반드시" 당첨되려면 몇 번이나 시행해야 할까? 정답은 "반드시 당첨되는 것은 불가능하다"이다.
확률이 1000분의 1이라면, 1번 시행했을 때 한 번도 당첨되지 않을 확률은 1000분의 999이므로, n번 시행했다면 그 확률은 (1000분의 999)ⁿ이다. 1000분의 999는 1보다 작은 실수이므로, n이 무한대로 가면 그 값은 0으로 수렴하지만, 그것이 0이 됨을 의미하지는 않는다. 즉, 이론상 무한번의 시행을 하더라도 단 한번도 당첨되지 않을 확률이 "존재"한다. 물론 그 확률은 기하급수적으로 작지만 말이다.

그렇다면, 당첨 확률이 n분의 1인 뽑기를 n번 시행했을 때 "적어도 한 번" 당첨될 확률은 얼마나 될까?
이는 중학교 2학년 수준의 확률 계산으로도 어렵지 않게 구할 수 있다.

먼저, "적어도 한 번" 당첨된다는 말은 곧, "최소 한 번은 당첨된다", 즉 "한번도 당첨되지 않는 건 아니다."라는 말과 같다. 이러한 확률은 대개 전체 확률(1)에서 모두 꽝이 나올 확률을 빼서 구한다.
상술한 바와 같이, 1000분의 1 확률로 당첨되는 뽑기를 n번 돌리면(독립시행) 한번도 당첨되지 않을 확률은 (1000분의 999)ⁿ이다. 곧, n분의 1 확률을 n번 시행할 때 모두 꽝일 확률은,

이 되는 것이다.


만약 n이 무한대로 커진다면, 그 값은,

자연로그의 밑, 즉 e의 역수의 정의가 등장한다.

다시말해, 무한히 작은 확률의 「복권」을 무한히 많이 시행했을 때, 적어도 한번은 당첨될 확률이 1 - 1/e라는 것이다.