[ANDRY]뉴턴역학(고전역학)

1.뉴턴

아이작 뉴턴(1636 ~ 1727)

뉴턴
그는 17세기의 가장 위대한 과학자로 불리는 인물이자, 고전 역학(뉴턴 역학)을 탄생시킨 인물이다. 그는 흔히 만유인력을 발견한 과학자로 알려져있는데, 그것 말고도 뉴턴은 수많은 놀라운 발견을 하였다.
그는 어릴적 미숙아로 태어났으며, 아버지를 여의고 어머니는 다른 남자와 재혼을 해 집을 떠나고 말았다. 그것때문인지 뉴턴은 일생동안 여자를 싫어했다고 한다.

뉴턴에 관한 유명한 일화가 있는데, 1696년 라이프니츠의 제자였던 베르누이가 뉴턴을 도발하기 위해 미분을 이용한 최단강하곡선(사이클로이드 곡선)문제를 뉴턴에게 보냈고, 뉴턴은 12시간만에 풀어냈다고 한다.

2. 뉴턴 역학

뉴턴이 발견한 3개의 운동법칙을 기반으로둔 뉴턴 역학, 즉 고전 역학은 아인슈타인이 상대성이론을 발표하기 전까지 300년동안 모든 자연 현상을 설명하는데에 기술되었던 필수적이자, 완벽한 역학 체계였다. 물론 뉴턴의 말중 틀린부분이 몇 있다는것이 나중에 발견되긴 했지만, 여전히 뉴턴의 운동법칙은 다양한 물리 현상을 설명하는데 있어 필연적이지 않을수없다.
이러한 뉴턴역학을 기술하는 3개의 운동 법칙은 다음과 같다.

뉴턴의 제 1법칙 관성의 법칙
: 물체는 외부의 간섭, 즉 힘이 작용하지 않을때 스스로 운동상태가 달라지지 않는다.

뉴턴의 제 2법칙 가속도의 법칙
: F=ma
즉 가속도는 힘에 비례하고 질량에 반비례한다.

뉴턴의 제 3법칙 작용ㆍ반작용법칙
: 모든 작용에 대해 크기는 같고 방향은 반대인 반작용이 존재한다.

제 1법칙을 쉽게 해석하면 운동하던 물체는 계속 같은 방향으로, 같은 속력으로 운동을 지속하려 하며, 정지한 물체는 계속해서 정지해있으려는 성질이 있다는것이다. 즉, 모든 물체에 관성이 존재한다. 운동상태를 유지시키려는 성질이 있다는것이다.

제 2법칙은 물리학계에서 가장 위대한 공식중 하나인 F=ma이다. 고전역학에서 우리는 이 공식을 이용해 거의 대부분의 물리현상을 설명한다. 쉽게말해 물체가 가속되는 정도는 질량이 클수록 적고, 가해진 힘이 클수록 크다는 뜻이다. 문장으로 해석해보면 정말 간단하다. 우리가 물체를 밀때, 즉, 힘을 가할때, 그 물체가 무거울수록 밀기 힘들고, 힘을 더 가할수록 밀기 쉽다는것이다.

제 3법칙에서 작용이란 힘 등의 작용을 뜻한다. 작용에 따른 반작용이 있다는건 힘을 가할때 가한 반대 방향으로 크기가 같은 힘이 가해진다는것이다. 우리가 벽을 밀면, 벽이 밀리기전에 우리가 밀리게 된다. 그 이유는 벽이 우리보다 바닥에 더 강하게 고정되어 있고, 우리가 가한 힘만큼 반대로 벽도 우리를 밀기 때문이다. 그 작용이 바로 반작용이다.

3.여러가지 운동

운동에는 기본적으로 4가지가 있다. 첫번째로 등속운동. 등속운동은 속력이 일정한 운동으로, 외부의 힘이 작용하지 않아 관성이 작용한다. 즉, 물체에 가해진 알짜힘이 0이다. 알짜힘이란 물체에 가해진 힘의 총량을 뜻한다. 등속 운동에서 속도를 y축에, 시간을 x축에 대응시킨 후, 속도에 대한 그래프를 그려보면 x축에 평행한 그래프가 된다. 속력이 일정하기 때문이다.

거리는 일정하게 증가한다.
따라서 s=vt
거리=속력×시간이다.

두번째로 등가속도운동이다.
등가속도 운동은 가속도가 일정한 운동이다. 가속도란 속도의 변화율을 뜻한다. 등가속도운동에서 가속도는 x축에 평행한 그래프,

속도는 출발속도에서 1초에 am/s씩 일정하게 증가하며,

거리는 이차함수의 그래프가 나온다.

등가속도 운동의 대표적인 예시로는 자유낙하 운동이 있다. 물체가 공기저항이 없는 지구에 자유낙하할때 중력가속도는 9.8m/s²이다. 이것을 거리 그래프에 대입하면 t초후 낙하거리는 4.9t²이다. 가속도의 단위에 m/s²을 쓰는 이유는 속도를 시간으로 한번더 나누었기 때문이다.

다음은 등속 원운동이다. 등속 원운동에서 속도는 항상 같으며, 방향이 매순간 바뀐다. 등속원운동에서는 힘이 작용하지만 속도를 바꾸는것이 아닌 방향을 바꾸는데, 등속 운동을 하던 물체가 이동하는 직선의 수직방향으로 힘을 가하면 힘의 방향이 반지름, 이동방향이 접선이 되고 서로 수직이 되어 원 모양의 운동을 하게된다.

다음은 포물선/진자운동이다.
포물선 운동과 진자운동에서 물체는 좌우로 등속운동을 하고, 위아래로 자유낙하운동을 한다. 포물선운동은 물체를 던질때의 경우이다. 또한 진자운동에서 역학적 에너지 보존법칙에 의해 공기저항이 없다면 진자운동은 영원히 반복된다.

4.등가속도운동의 공식

물체에 가해진 힘이 F, 가속도가 a, 속도가 v, 출발속도가 v₀, 이동거리가 s, 시간이 t일때 다음이 성립한다.

F=ma

v=v₀+at

s=v₀t+½at²

2as=v²-v₀²

두번째 공식은 가속도 a의 정의만 알면 어찌보면 당연한 식이다. 가속도란 속도변화량을 시간변화량으로 나눈 값이므로 시간만큼 가속도가 가해질때 속도는 출발속도에 속도변화량을 더한것이다.

세번째식을 유도해보자. 두번째 식을 활용하면 된다. 앞에서 나왔던 그래프를 이용하는거다.

시간이 t만큼 지났을때 s는, 위 그래프에서 그려진 사다리꼴의 넓이와 같다. 속도×시간=거리이기 때문이다.*

(*더 자세히 설명하면 속도가 일정하게 증가할때 t를 무수히 작은 일정한수로 나누고 그 수를 Δt라고 하면(lim(Δt=>0)) Δt만큼 시간이 지날때 이동거리는 Δt일때 속도인 Δv와 Δt를 곱한 값이므로 Δs가 되고, 그것들을 다시 모두 쌓으면 사다리꼴의 넓이가 된다. 이것이 미적분이다.)

아무튼 사다리꼴의 넓이를 구해보자.
s=(v₀+v₀+at)t÷2=(2v₀t+at²)÷2=v₀t+½at²
이 나온다.

네번째식은 두번째, 세번째 식을 이용하면 된다. s=v₀t+½at²의 양 변에 2a를 곱해보자. 2as=2av₀t+a²t²
완전제곱식으로 만들기 위해 우변에 v₀²을 더했다가 뺀다.
2as=v₀²+2av₀t+a²t²-v₀²=(v₀+at)²-v₀²=v²-v₀²
이렇게 유도된다.



오늘은 뉴턴 역학에 대해 알아보았다. 필자는 이 블로그에 뉴턴역학 말고도 이외 여러가지 과학 포스트를 작성할 생각이다. 식에 오류가 있다면 독자분들이 지적해주길바란다. 읽어주신 독자분들께 감사의 말씀을 전한다.